租车过程中如果发动机出现故障，维修责任的承担通常取决于以下因素：
车辆检查责任：如果租车公司在租赁前对车辆进行了检查，并确保车辆没有故障，那么在租赁期间出现的发动机故障，如果是车辆本身的问题，责任通常由租车公司承担。
故障原因：
- 车辆本身问题：如果故障是由于车辆本身的缺陷或质量问题导致的，租车公司应当承担维修责任。
- 租客操作原因：如果故障是由于租客的操作不当或故意损坏造成的，那么责任应由租客承担。
- 第三方原因：如果故障是由于第三方（如其他车辆碰撞）造成的，责任可能由第三方承担。
保险条款：如果租车时购买了保险，保险条款可能会规定在何种情况下保险公司承担责任。
合同约定：租车合同中可能对维修责任有具体规定，应按照合同约定执行。
以下是一些具体情况的分析：
发动机故障灯亮：如果发动机故障灯亮，租车公司应首先负责检查和维修。如果故障是由于车辆本身的问题，租车公司应承担维修责任；如果是租客操作不当，则由租客负责。
发动机损坏：如果发动机损坏，需要根据损坏的原因来判断责任。如果是车辆本身的问题，租车公司应负责；如果是租客操作不当或车辆维护不当，则由租客负责。
车辆维修后出现新问题：如果车辆在维修后出现新的问题，需要确定新问题的原因。如果是维修不当或维修材料问题导致的，维修厂应负责；如果是车辆本身的问题，租车公司应负责。
总之，租车发动机故障的维修责任应由责任方承担，具体责任划分需根据实际情况和法律规定来确定。